As características que definem a forma simpléctica numa variedade \(M\) são: o fecho, a antissimetria e a não-degenerescência. As duas primeiras propriedades são ambas fundamentais, e em particular intervêm da seguinte forma: o fecho e a antissimetria serão essenciais para o Teorema de Darboux e para o estabelecimento de uma álgebra de observáveis através dos parêntesis de Poisson. A antissimetria origina propriedades conservativas, que se estendem às formas degeneradas. A não-degenerescência pode ser enfraquecida de forma a estabelecermos as boas propriedades em casos mais gerais.
Vamos estudar primeiro brevemente a importância da não-degenerescência.
Forma Bilinear — Não-degenerescência \(\omega\) é não-degenerada se e só se: \[\omega(e_1,e_2)=0,\quad\forall\,e_2\in E\;\Longrightarrow\;e_1=0.\]
Definimos o mapa linear \(\omega^\flat:E\to E^*\) \((TM\to T^*M)\) por \(\omega^\flat(e)\cdot e'=\omega(e,e')\). Então \(\omega^\flat(e)=\iota_e\omega\) e \([\omega^\flat]=[\omega_{ij}]\). A não-degenerescência de \(\omega\) implica que o núcleo de \(\omega^\flat\) é trivial; portanto \(\omega^\flat\) é injectiva e, como \(\dim E=\dim E^*\), é um isomorfismo. Logo determina-se um campo vectorial \(X_g\) através da condição: para um dado \(g:E\to\mathbb{R}\),
Se o observável \(g\) não depender explicitamente de alguma variável: \(g=g(q^1,\dots,q^{2n})\), teremos \(dg=\bigl(\tfrac{\partial g}{\partial q_i},0\bigr)^\top\) e então \(\omega\) pode ser degenerada,
Por exemplo: \(g(u,y,z)=uy+c^{\text{te}}\), \(dg=y\,du+x\,dy=(y,u,0)\). Sabemos, do Teorema de Darboux, que podemos encontrar uma base tal que \(\omega\) seja da forma:
Para podermos estabelecer uma álgebra de observáveis temos que eliminar este excesso de campos possíveis. No nosso exemplo o núcleo de \(\omega\) é todos os vectores da forma \(\bigl(0,0,\lambda(u,y,z)\bigr)\), ou seja \(X(u,y,z)\tfrac{\partial}{\partial z}\). Estes vectores aplicados ao observável \(g\) determinam superfícies (linhas neste caso) em que \(g\) é constante:
se os parêntesis de Poisson estivessem bem definidos
Para podermos definir os parêntesis vamos então considerar apenas os vectores perpendiculares a estas linhas, uma vez que \(f\) e \(g\) dependem apenas de \(x\) e \(y\).
\(X_g\cdot f=-X_f\cdot g=0\), mas as linhas são perpendiculares ao plano \(x\)–\(y\); para cada \(dg\) não existe um \(X_g\) único.
As folhas do núcleo \(\ker\omega^\flat=\langle\partial/\partial z\rangle\) são as rectas verticais; sobre cada curva de nível de \(g\) ergue-se uma superfície de nível vertical, pois \(g\) não depende de \(z\)
\(\omega^\flat\) é um smooth vector bundle mapping e determina uma subvariedade de \(TM\). Segundo o exercício 1.6F c) (pág. 51, do Abraham), se \(\omega\) tiver rank constante \(k\) — condição necessária para definirmos a nova álgebra, como se vê facilmente do nosso exemplo linear, pois senão o número de «graus de liberdade» varia de ponto para ponto — então \(\ker\omega\) é um sub-fibrado de \(TM\) (chamemo-lhe \(E\)); um sub-fibrado é quando a base é a mesma mas as fibras são menores. Então, segundo o Teorema de Frobenius, \(E\) é integrável se e só se surge de uma foliação regular.
Na sua imagem está \((T^*M)^E\), variedade isomórfica a \(TM|_E\); \(\iota_X\omega\) é um sub-fibrado de \(T^*M\).
Provar que \(E\) é integrável: sejam \(X,Y\in\ker\omega\). Verificamos que \([X,Y]\in\ker\omega\):
Nota: É necessário que \(d\omega=0\), pois esta é uma condição fundamental para estabelecermos a álgebra.
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Então já sabemos que \(E\) surge de uma foliação regular, ou seja: "para cada \(m_0\in M\), existe uma subvariedade local \(N\subset M\), chamada folha da foliação, que contém \(m_0\) e cujo fibrado Tangente é exactamente \(E\) restrito a \(N\)."
Definição — Foliação (segundo Abraham) Uma foliação \(\mathcal{F}\) de classe \(C^n\), \(n\geq 0\), e dimensão \(p\) numa variedade \(m\)-dimensional \(M\) é uma decomposição de \(M\) em subconjuntos conexos disjuntos \(\mathcal{F}=\{L_\alpha\}_{\alpha\in A}\), denominados as folhas, tais que cada ponto de \(M\) tem uma vizinhança \(U\) e um sistema de coordenadas \(C^n\)\ \((x,y):U\to\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^{m-p}\), tal que para cada folha \(L_\alpha\) as componentes de \(U\cap L_\alpha\) são descritas pelas equações \(y_1=c_1,\;\dots,\;y_{m-p}=c_2\).
A carta \(\varphi=(x,y):U\to\mathbb{R}^p\times\mathbb{R}^{m-p}\) achata as folhas: cada \(L_\alpha\) passa a ser um nível \(y_1=c_1,\,\dots,\,y_{m-p}=c_2\)
Podemos determinar as folhas através dos observáveis que permanecem constantes sobre elas: \(f=c_1\), \(g=c_2\), etc.
\(\bigl(\varphi_1(u),f(u),g(u),\dots\bigr)\), com \(c\in\mathbb{R}^{n-k}\)
Com \(F=\bigl(f(u),\dots,h(u)\bigr)\): \(c\) é valor regular de \(F\) se \(df(u)\wedge\dots\wedge dh(u)\neq 0\) para \(u\in F^{-1}(c)\) — isto é, matriz \(DF\) não singular.
Agora podemos ver que, se \(df(u)\neq 0\) com \(u\in f^{-1}(c)\), então \(c\) é um valor regular de \(f\) e \(f^{-1}(c)\) é uma subvariedade de \(M\) de codimensão \(k\) — a dimensão das folhas é \(n-k\).
\(df(u)\neq 0\) é essencial para que, aplicado a \(X\),
\[df(u)\cdot X=X\cdot f(u)=0\]
não seja trivial e portanto determine os vectores do núcleo de \(\omega^\flat\), os quais são tangentes às folhas onde \(f\) e \(g\) são constantes.
pois \([X,Y]\) é ainda um campo vectorial tangente à folha.
Assim vê-se que tudo "encaixa" bastante bem.
A fim de estabelecer intrinsecamente a "perpendicularidade" intuída no exemplo linear não dispomos de uma estrutura a que recorrer,
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o \(\omega\), uma vez que não temos métrica. Podemos eliminar os campos indesejáveis estabelecendo uma relação de equivalência em \(TM\) e efectuando o quociente de \(TM\) por essa relação. Dois elementos de \(TM\) são equivalentes se
\[\sim\;:\quad \iota_{(X_1-X_2)}\,\omega(m)=0,\]
ou seja, eliminamos todas as componentes segundo a direcção das folhas:
A diferença dos dois vectores está na direcção da folha
Eliminamos também as folhas. Para tal a relação de equivalência será definida pela constância do observável \(f\) sobre uma folha, ou seja, todos os pontos \(u\in f^{-1}(c)\) em que \(c\) é um valor regular de \(f\) são equivalentes.
O novo fibrado Tangente será \(TM/N\). A sua base é uma variedade simpléctica. Agora já poderemos estabelecer nesta variedade uma álgebra de observáveis com parêntesis de Poisson, transformações canónicas e todas as boas propriedades.
Nota: \(TM/N\) é obtido pela projecção canónica \(M\to M/\mathcal{F}\), e as duas reduções mencionadas acima são obtidas simultaneamente.
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Equação de 2.ª Ordem Definida Intrinsecamente
Definição — Abraham Uma equação de 2.ª ordem numa variedade \(M\) é um campo vectorial \(X\) em \(TM\) tal que \(T\tau_M\circ X\) é a identidade em \(TM\).
Antes de prosseguir convém definir as operações envolvidas na definição de eq. de 2.ª ordem: \(\tau_M:TM\to M\) é a projecção do fibrado Tangente na sua base, a qual é uma variedade diferencial; \(T\tau_M:TTM\to TM\) é o mapa tangente entre os fibrados vectoriais \(TTM\) e \(TM\). Um mapa tangente é um caso particular de um vector bundle mapping, ou seja, um mapa \(C^\infty\) fiber-preserving — diagrama das projecções comutativo — e linear em cada fibra:
\[f_*X(n)=\bigl(Tf\circ X\circ f^{-1}\bigr)(n)\]
Um mapa tangente \(Tf\) é um vector bundle mapping: preserva as fibras e é linear em cada uma delas
A definição inicial significa que "se \(X\) for uma eq. de 2.ª ordem em \(M\) temos o seguinte diagrama rômbico comutativo (excepto nos ciclos que envolvam apenas 2 rectas)":
Diagrama rômbico — comuta excepto nos ciclos que envolvem apenas duas setas. \(X\) é equação de 2.ª ordem \(\iff T\tau_M\circ X=\mathrm{Id}_{TM}\)O mesmo diagrama em coordenadas locais
A projecção canónica \(\tau_{TM}\) "achata" as fibras na base \(TM\), enquanto que a projecção \(T\tau_M\) projecta apenas a parte "horizontal" da fibra e a base \(M\).
As duas projecções vistas sobre as variedades: \(\tau_{TM}\) achata toda a fibra e devolve \(c\); \(T\tau_M\) guarda apenas a parte «horizontal» e devolve \((\tau_M\circ c)'\)O mesmo esquema por níveis, com \(c\) curva integral de \(X\) e \(c'=X\circ c\): \(X\) é de 2.ª ordem se e só se ① \(=\) ②, isto é \(c=(\tau_M\circ c)'\)
\(X\) é uma equação de 2.ª ordem em \(M\) se e só se as curvas ① e ② coincidirem. Então
pois a curva \(c(t)=(\tau_M\circ c)'(t)\) é uma curva integral do campo vectorial \(X\).
Efectuamos uma mudança de notação \((\tau_M\circ c)\to c\) e temos para a base integral curve of \(X\), \(c(t)\):
\[c''(t)=X\bigl(c'(t)\bigr).\]
Não poderíamos ter estabelecido esta igualdade se não tivéssemos constatado que \(X\) determina a curva \(c'(t)\) — anteriormente \((\tau_M\circ c)'=c\).
E temos uma equação do segundo grau definida intrinsecamente.
(*) Isto significa que, quando se fazem as «passagens» — tangente e projecção — entre \(M\leftrightarrow TM\leftrightarrow TTM\), há um «percurso» único, pela tangente e pela projecção, entre \(c\) e \(c''\), tal que \[\begin{aligned}c''_\varphi=X_\varphi\bigl(c'_\varphi(t)\bigr)\;&\iff\;(c'_\varphi)'=X_\varphi\bigl(c'_\varphi(t)\bigr)'\\[.2em]&\overset{?}{\iff}\;(c_\varphi)''=X_\varphi\bigl(c'_\varphi(t)\bigr)\;\iff\;(c_\varphi)''=X_\varphi\bigl((c_\varphi)'(t)\bigr)\end{aligned}\] pois \(c''_\varphi=T^2\varphi\circ c''(t)=T\bigl(T\varphi\circ c'\bigr)(t,1)\overset{?}{=}T^2(\varphi\circ c)(t,1)=(c_\varphi)''\). Ou seja: \[\begin{aligned}&\Bigl(u(c(t)),\;\tfrac{du}{dt}(c(t)),\;\tfrac{d}{dt}u(c(t)),\;\tfrac{d^2}{dt^2}u(c(t))\Bigr)\\[.3em]={}&\Bigl(u(c(t)),\;e(c(t)),\;X_1\bigl(u(c(t)),e(c(t))\bigr),\;X_2\bigl(u(c(t)),e(c(t))\bigr)\Bigr)\end{aligned}\]
Nota: O importante aqui é a equação do movimento em 2.ª ordem, que obtivemos em coordenadas locais a partir da nossa definição intrínseca.
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